先日勤め先の会社で退職希望者を募集していた為、応募し退職となりました。離職票は会社都合扱いとなっているので職安ですぐに失業保険の申請を考えていますが、希望退職に応募して退職した場合でも３ヶ月という期間を待つことなく保険は貰えるのでしょうか？

離職票が会社都合（解雇）による退職ならたしか待機３日後の後すぐに失業保険はもらえると思います。
職安では余計なことは言わない方がいいかもですね。

定年後の手続き等について教えて下さい。

私の父が6月3日で60才になり、6月20日で定年退職となります。


父の話だと、まずは失業保険をもらって、その後年金をもらう予定らしいです。

失業保険はどのようにすればもらえるのでしょうか？

またその後の年金手続きはどうすればよいのでしょうか？

失業保険を貰う貰わないや、まだ働いているということなどは別にして、60歳の誕生日を過ぎたらすぐに年金の裁定請求は必ずしてください。その書類はもう送られてきているはずで、そこに準備する書類や請求方法が書かれています。ただ、書類不足などで出直すケースも多いようですから、やはりできるだけ早目が良いでしょう。
その請求が終わっていれば、ハローワークと年金機構の間の情報のやり取りで、失業保険の受給状況により年金の停止や支給開始が自動的に行われますから、失業保険を貰うときや失業保険が終わったときに自分では何もやらなくてもいいのです。
その点については、年金の裁定請求の手続のときにも教えてもらえます。

失業保険の手続は離職票と雇用保険証を会社から貰い、身分を証明するものなど必要書類を持っていって、住所地を管轄するハローワークで行います。ハローワークにいけば手続方法は簡単に分かります。

今年3月末に自己都合により退職し、現在フリーターです。離職票が手元に届いたら失業保険を申請する予定でいますが、離職票が届くまで期間にアルバイトしても問題ないでしょうか？
昔のアルバイト先で人手が足りないそうで、「経験者だと助かるから、すぐにでも来てほしい」と言われています。
勤務時間も就職活動と並行して行えるくらいの時間数なので、非常にありがたい話なのですが、失業保険を申請する予定でいるので後々問題にならないか不安です。

問題ありません。
但し、離職票が届きハローワークへ申請に行かれてから７日間は待機期間と言うものがあり、完全失業状態を求められます。
自己都合による離職の場合は待機期間後に３ヶ月の給付制限期間が付きます、給付制限期間中及び給付中は一定時間・日数以内の就労であれば可能です（時間・日数はハローワークごとに基準に差がありますので当該ハローワークでご確認ください）

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